% \title{Correction de vitesse pour la modélisation d'un écoulement incompressible dans une boîte}
% \author{}
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% \begin{document}
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% \maketitle
Lors de la résolution de l'équation de Poisson $\Delta\mathbf{u}=-\nabla\boldsymbol{\omega}$, le mode 0 des transformées de Fourier rapides de la vitesse est imposé à 0, ce qui entraîne une modification des valeurs moyennes des composantes de la vitesse et donc des composantes de la vitesse elles-mêmes lorsque la transformée de Fourier inverse est appliquée. Une correction de la vitesse est donc nécessaire après la résolution de l'équation de Poisson, à chaque itération.
Lors de la résolution de l'équation de Poisson $\Delta\mathbf{u}=-\nabla\boldsymbol{\omega}$, le mode 0 des transformées de Fourier rapides de la vitesse est imposé à 0, ce qui entraîne une modification des valeurs moyennes des composantes de la vitesse et donc des composantes de la vitesse elles-mêmes lorsque la transformée de Fourier inverse est appliquée. Une correction de la vitesse est donc nécessaire après la résolution de l'équation de Poisson, à chaque itération.
On introduit la notation suivante pour exprimer la vitesse corrigée :
On introduit la notation suivante pour exprimer la vitesse corrigée :
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@@ -9,7 +48,7 @@ On introduit la notation suivante pour exprimer la vitesse corrigée :
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@@ -9,7 +48,7 @@ On introduit la notation suivante pour exprimer la vitesse corrigée :
\bf{u}= \widetilde{u} + \overline{u}\label{ux}
\bf{u}= \widetilde{u} + \overline{u}\label{ux}
\end{align}
\end{align}
où $\widetilde{\bf{u}}$ désigne la vitesse en sortie de FFT et où $\overline{\bf{u}}$ dénote la moyenne en espace de la vitesse, que l'on cherche ici à déterminer. L'écoulement s'effectue dans la direction $x$ et la vitesse est initialisée en posant ${\bf{u}}(t=0)=(u_x, u_y, u_z)=(u_{\infty}, 0, 0)$.
où $\widetilde{\bf{u}}$ désigne la vitesse en sortie de FFT et où $\overline{\bf{u}}$ dénote la moyenne en espace de la vitesse, que l'on cherche ici à déterminer. L'écoulement s'effectue dans la direction $x$ et la vitesse est initialisée en posant ${\bf{u}}(t=0)=(u_{x \infty}, u_{y \infty}, u_{z \infty})$.
$\overline{u_x}$ est un flux constant en espace, par conséquent $\dfrac{\partial\overline{u_x}}{\partial x}=\dfrac{\partial\overline{u_x}}{\partial y}=\dfrac{\partial\overline{u_x}}{\partial z}=0$. Ainsi le champ de vorticité moyen en espace est donné en 2D par :
$\overline{u_x}$ est un flux constant en espace, par conséquent $\dfrac{\partial\overline{u_x}}{\partial x}=\dfrac{\partial\overline{u_x}}{\partial y}=\dfrac{\partial\overline{u_x}}{\partial z}=0$. Ainsi le champ de vorticité moyen en espace est donné en 2D par :
La correction de la vitesse se fait par réajustement du débit à l'entrée du domaine de calcul. Cette correction est développée ci-dessous composante par composante tout d'abord en 2D puis sera étendue au cas 3D.
La correction de la vitesse se fait par réajustement du débit à l'entrée du domaine de calcul. Cette correction est développée ci-dessous composante par composante tout d'abord en 2D puis sera étendue au cas 3D.
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@@ -39,9 +78,9 @@ On note $B$ le coté correspondant au bord d'entrée du domaine de calcul. En pa
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@@ -39,9 +78,9 @@ On note $B$ le coté correspondant au bord d'entrée du domaine de calcul. En pa
D'après la relation \ref{wz} on a $\overline{u_y}=\overline{\omega_z}x +c$ avec $c$ une constante. D'après \ref{ux} on obtient donc que $u_y =\widetilde{u_y}+\overline{\omega_z} x +c$. Ainsi,
D'après la relation \ref{wz} on a $\overline{u_y}=\overline{\omega_z}x +c_1$ avec $c_1$ une constante. D'après \ref{ux} on obtient donc que $u_y =\widetilde{u_y}+\overline{\omega_z} x +c_1$. Ainsi,
Sur le même principe on a d'après la relation \ref{wy} que $\overline{u_z}=-\overline{\omega_y}x +c$ avec $c$ une constante. D'après \ref{ux} on obtient donc que $u_z =\widetilde{u_z}-\overline{\omega_y} x +c$. Ainsi en procédant de même que pour $u_y$ on obtient :
Sur le même principe on a d'après la relation \ref{wy} que $\overline{u_z}=-\overline{\omega_y}x +c_2$ avec $c_2$ une constante. D'après \ref{ux} on obtient donc que $u_z =\widetilde{u_z}-\overline{\omega_y} x +c_2$. Ainsi en procédant de même que pour $u_y$ on obtient :
%%%%%%%% Remarque 1 pour la constance des terme sde correction en Y et en Z %%%%%%%%%%
{\bf{Remarque 1:}}
Nous allons justifier ici la constance des termes $c_1$ et $c_2$ utilisés dans les corrections de $u_y$ et $u_z$.
Tout d'abord, revenons sur la constante $\overline{\omega_z}$. Cette constante, de part les conditions de bord choisies dans notre problème, est nulle. En effet :
car, en effet, des conditions périodiques sont imposées sur les bords dans les directions $Y$ et $Z$. Par conséquent, $\overline{\omega_z}$ est nul.
De façon générale, à partir des relations \ref{wy} et \ref{wz}, on peut exprimer les flux $\overline{u_x}$, $\overline{u_y}$ et $\overline{u_z}$ comme suit :
\begin{align}
\overline{u_x}&= c_0\\
\overline{u_y}&= \overline{\omega_z} x + f(y,z)\\
\overline{u_z}&= -\overline{\omega_y} x + g(y,z)
\end{align}
%
où $c_0$ est une constante et où $f$ et $g$ sont des fonctions dépendant de $y$ et de $z$.
A partir de ces deux équations, on obtient les conditions suivantes sur $f$ et $g$ :
\begin{center}
$\partial_y$(\ref{div_f_g}) - $\partial_z$(\ref{rot_f_g}) $\Longleftrightarrow$$\Delta f =0$\\
$\partial_z$(\ref{div_f_g}) + $\partial_y$(\ref{rot_f_g}) $\Longleftrightarrow$$\Delta g =0$
\end{center}
Par conséquent, les solutions du système composé des équations \ref{div_f_g} et \ref{rot_f_g} sont les fonctions $f$ et $g$ s'exprimant comme les combinaisons linéaires suivantes de $y$ et $z$ :
\begin{equation}
\left\{
\begin{align}
f(y,z) &= ay + bz + c_1\\
g(y,z) &= by - az + c_2, \qquad\text{avec}\ a,b, c_1, c_2 \in\mathbb{R}
\end{align}
\right.
\end{equation}
En intégrant l'équation de correction $\bf{u}=\widetilde{u}+\overline{u}$ sur le bord d'entrée du domaine de calcul, on obtient le système d'équations suivant :
Or, lorsque le domaine est centré en 0 dans les directions $Y$ et $Z$ (comme c'est le cas dans notre étude), les termes $\left[ Ly_{+}^2- Ly_{-}^2\right]$ et $\left[ Lz_{+}^2- Lz_{-}^2\right]$ sont nuls, et dans ce cas, les formules de correction des composantes $u_y$ et $u_z$ de la vitesse sont bien celles données par les équations \ref{correc_Y} et \ref{correc_Z} .
%%%%%%%% Remarque 2 pour écoulements potentiels autour cylindre/sphère %%%%%%%%%%%
{\bf{Remarque 2:}}
Dans le cadre d'un écoulement autour d'un cylindre (2D) ou d'une sphère (3D), on peut également choisir l'écoulement potentiel comme condition initiale de l'écoulement.
Dans le cadre d'un écoulement autour d'un cylindre (2D) ou d'une sphère (3D), on peut également choisir l'écoulement potentiel comme condition initiale de l'écoulement.
