documentation about vortex ring benchmark

Docs/Vortex_ring.tex

+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage[utf8x]{inputenc}
+\usepackage{amsmath}
+% \usepackage{showkeys} % affiche les labels et references
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{multirow}
+\usepackage{amsthm,amssymb}
+\setlength{\parskip}{12pt} %taille du saut entre deux paragraphes
+\usepackage{graphicx}
+\graphicspath{{./images/}}
+\usepackage{pdfsync} % permet de cliquer sur le pdf pour avoir l endroit ou il y a le code latex
+\overfullrule 5pt %Pour d\'esigner les listes couples d'un *full carre noir la ou l on sort
+
+\usepackage[pdftex]{hyperref}
+\hypersetup{
+  pdftitle={Vorticity_ring},
+  pdfauthor={Mimeau Chloe},
+  pdfcreator={PARMES},
+  pdfkeywords={Vorticity, Ring},
+  pdfsubject={Vorticity}
+% pagebackref=false,
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+}
+
+
+\theoremstyle{plain}
+\newtheorem{Theoreme}{Th\'eor\`eme}[section]
+%opening
+\title{Setup pour test de l'anneau de vorticité}
+\author{}
+\date{}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+
+L'initialisation de ce test se fait avec un anneau défini par une gaussienne, comme présenté dans Shariff et al. (1994) :
+\begin{equation}
+ \omega_{\theta}(\mathbf{x}, t=0)=\dfrac{\Gamma_0}{\pi \sigma^2}e^{-(s/\sigma)^2}
+\end{equation}
+
+où $\Gamma_0$ représente la circulation à l'état initial, $\sigma$ le rayon interne du tore et où $s^2=(z-z_c)^2 + (\rvert(x, y) − (x_c, y_c)\rvert - R^2)$, avec $(x_c,y_c,z_c)$ les coordonnées du centre du tore.
+$\theta$ correspond ici à la deuxième coordonnée torique (rappel : coordonnées toriques : $(\vec e_R, \vec e_{\theta}, \vec e_{\phi})$, cf Figure, gauche)
+
+Le passage des coordonnée toriques aux coordonnées cartésiennes de la vorticité se fait de la façon suivante (cf Figure, droite):
+\begin{equation}
+ \vec e_{\theta} = -\vec e_x \ sin(\theta) + \vec e_y \ cos(\theta)
+\end{equation}
+
+ainsi :
+\begin{align}
+ & \omega_x = - \omega_{\theta} \ sin(\theta) \\
+ & \omega_y = \omega_{\theta} \ cos(\theta) \\
+ & \omega_z = 0
+\end{align}
+
+Soit $\vec v = (v_x,v_y,v_z) = (x-x_c, y-y_c,0)$, on peut alors exprimer $cos(\theta)$ et $sin(\theta)$ en fonction de $\mathbf{x}$ :\\
+\begin{align}
+ & cos(\theta) = \dfrac{v_x}{\| \vec v \|} \\
+ & sin(\theta) = \dfrac{v_y}{\| \vec v \|}
+\end{align}
+
+Les coordonnées cartésiennes de la vorticité sont donc données par:
+\begin{align}
+ & \omega_x = - \omega_{\theta} \ \dfrac{v_y}{\| \vec v \|} \\
+ & \omega_y = \omega_{\theta} \dfrac{v_x}{\| \vec v \|} \\
+ & \omega_z = 0
+\end{align}
+
+\begin{figure}[ht]
+\centering
+ \includegraphics[width=1.0\linewidth]{tore.pdf}
+\caption{(gauche) Systèmes de coordonnées cartésiennes et toriques sur un anneau 3D, (droite) Systèmes de coordonnées cartésiennes et toriques dans le plan (xOy).}
+\label{tore}
+\end{figure}
+
+Paramètres numériques choisis pour les simulations :
+
+
+$\Omega$ = $[0,6] \times [0,6] \times [0,6]$\\
+$(x_c,y_c,z_c)$ = $(3,3,3)$\\
+resolution = $128^3$ ou $256^3$ \\
+pour $Re_{\Gamma} = 750$, $\Gamma_0$=0.0075 et $\nu=10^-5$\\
+pour $Re_{\Gamma} = 7500$, $\Gamma_0$=0.0075 et $\nu=10^-6$\\
+$R=3\sigma$=1.5\\
+
+
+
+
+\end{document}