Commit 1ea28115 authored by Laurence Viry's avatar Laurence Viry
Browse files

rm Multidim_s.tex

parent b70704f6
%% LyX 2.1.2 created this file. For more info, see http://www.lyx.org/.
\documentclass[10pt,xcolor=table]{beamer}\usepackage[]{graphicx}\usepackage[]{color}
%% maxwidth is the original width if it is less than linewidth
%% otherwise use linewidth (to make sure the graphics do not exceed the margin)
\makeatletter
\def\maxwidth{ %
\ifdim\Gin@nat@width>\linewidth
\linewidth
\else
\Gin@nat@width
\fi
}
\makeatother
\definecolor{fgcolor}{rgb}{0.345, 0.345, 0.345}
\newcommand{\hlnum}[1]{\textcolor[rgb]{0.686,0.059,0.569}{#1}}%
\newcommand{\hlstr}[1]{\textcolor[rgb]{0.192,0.494,0.8}{#1}}%
\newcommand{\hlcom}[1]{\textcolor[rgb]{0.678,0.584,0.686}{\textit{#1}}}%
\newcommand{\hlopt}[1]{\textcolor[rgb]{0,0,0}{#1}}%
\newcommand{\hlstd}[1]{\textcolor[rgb]{0.345,0.345,0.345}{#1}}%
\newcommand{\hlkwa}[1]{\textcolor[rgb]{0.161,0.373,0.58}{\textbf{#1}}}%
\newcommand{\hlkwb}[1]{\textcolor[rgb]{0.69,0.353,0.396}{#1}}%
\newcommand{\hlkwc}[1]{\textcolor[rgb]{0.333,0.667,0.333}{#1}}%
\newcommand{\hlkwd}[1]{\textcolor[rgb]{0.737,0.353,0.396}{\textbf{#1}}}%
\usepackage{framed}
\makeatletter
\newenvironment{kframe}{%
\def\at@end@of@kframe{}%
\ifinner\ifhmode%
\def\at@end@of@kframe{\end{minipage}}%
\begin{minipage}{\columnwidth}%
\fi\fi%
\def\FrameCommand##1{\hskip\@totalleftmargin \hskip-\fboxsep
\colorbox{shadecolor}{##1}\hskip-\fboxsep
% There is no \\@totalrightmargin, so:
\hskip-\linewidth \hskip-\@totalleftmargin \hskip\columnwidth}%
\MakeFramed {\advance\hsize-\width
\@totalleftmargin\z@ \linewidth\hsize
\@setminipage}}%
{\par\unskip\endMakeFramed%
\at@end@of@kframe}
\makeatother
\definecolor{shadecolor}{rgb}{.97, .97, .97}
\definecolor{messagecolor}{rgb}{0, 0, 0}
\definecolor{warningcolor}{rgb}{1, 0, 1}
\definecolor{errorcolor}{rgb}{1, 0, 0}
\newenvironment{knitrout}{}{} % an empty environment to be redefined in TeX
\usepackage{alltt}
\mode<presentation>
{
\usetheme{MaiMoSiNE}
}
%
% Chargement de quelques packages
% -------------------------------------------------
%\usepackage{pgf,pgfarrows,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps,pgfshade}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{pifont}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{array}
\usepackage[T1]{fontenc}
\setcounter{secnumdepth}{3}
\setcounter{tocdepth}{3}
\usepackage{url}
\ifx\hypersetup\undefined
\AtBeginDocument{%
\hypersetup{unicode=true,pdfusetitle,
bookmarks=true,bookmarksnumbered=false,bookmarksopen=false,
breaklinks=false,pdfborder={0 0 0},backref=false,colorlinks=false}
}
\else
\hypersetup{unicode=true,pdfusetitle,
bookmarks=true,bookmarksnumbered=false,bookmarksopen=false,
breaklinks=false,pdfborder={0 0 0},backref=false,colorlinks=false}
\fi
\makeatletter
% Pour faire des sous figures
\usepackage{subfigure}
\usepackage{rotating}
%packages de math
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
%pour faire pleins de colonnes
\usepackage{multicol}
%% En tetes et pieds de page
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{textpos}
% Pour vector graphics
%\usepackage{tikz}
\setbeamercovered{dynamic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.
\providecommand{\LyX}{\texorpdfstring%
{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\@}
{LyX}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.
% this default might be overridden by plain title style
\newcommand\makebeamertitle{\frame{\maketitle}}%
% (ERT) argument for the TOC
\AtBeginDocument{%
\let\origtableofcontents=\tableofcontents
\def\tableofcontents{\@ifnextchar[{\origtableofcontents}{\gobbletableofcontents}}
\def\gobbletableofcontents#1{\origtableofcontents}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
%\usetheme{PaloAlto}
%\makeatother
% Titre
\title[Analyse en Composantes principales]{Analyse en Composantes principales }
% Auteur(s)
\author[Laurence Viry]{\small{Laurence Viry}}
% Institut
\institute[]{Collège des écoles doctorales Grenoble - MaiMoSiNE}
% Date
\date{10 Mars 2015}
% Repertoire des graphes
\graphicspath{{../../figures/}}
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\begin{document}
\makebeamertitle
%
\section{Introduction}
\begin{frame}
\frametitle{Les objectifs}
Dans de nombreuses applications on observe {\bf p} variables sur {\bf n} individus, \textcolor{orange}{p et n pouvant être élevés.}
\vspace{0.3cm}
\begin{itemize}
\item[$\succ$] \textcolor{bleu}{Les bases de données deviennent de plus en plus volumineuses} en terme d'individus et de variables mesurées sur ces individus.
\vspace{0.2cm}
\item[$\succ$] L'étude de \textcolor{bleu}{chaque variable} et celle \textcolor{bleu}{des couples de variables} par les méthodes classiques de statistiques descriptives \textcolor{bleu}{est indispensable mais insuffisante.}
\vspace{0.2cm}
\item[$\succ$] Les \textcolor{orange}{méthodes exploratoires multidimensionnelles} permettent :
\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
\item de tenir compte \textcolor{bleu}{des variations simultanées} d'un plus grand nombre de variables,
\vspace{0.1cm}
\item de \textcolor{bleu}{synthétiser} et/ou simplifier les structures sous-jacentes.
\end{itemize}
\vspace{0.2cm}
\item[$\succ$] \textcolor{orange}{L'analyse en composantes principales} (ACP) est l'une de ces méthodes.
\vspace{0.2cm}
\item[$\succ$] L'ACP détermine \textcolor{bleu}{les principales relations linéaires entre des variables} à partir des \textcolor{bleu}{coefficients de corrélation}.
\end{itemize}
\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Quelques exemples}
%
\begin{itemize}
\item[$\succ$]
\item[$\succ$]
\item[$\succ$]
\item[$\succ$]
\item[$\succ$]
\end{itemize}
\end{frame}
% %
\begin{frame}
\frametitle{L'analyse en composantes principales et R}
\begin{itemize}
\item[$\succ$] La fonction \textcolor{orange}{princomp} de R permet de faire une ACP, elle reste simpliste.
\vspace{0.2cm}
\item[$\succ$] Le package \textcolor{orange}{FactoMineR } fournit les méthodes les plus classiques d'analyse de données multidimensionnelles.
%
\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
\item L'\textcolor{bleu}{ACP} (fonction {\bf PCA}),
\vspace{0.2cm}
\item l'\textcolor{bleu}{analyse factorielle des correspondances} (fonction {\bf CA}),
\vspace{0.2cm}
\item \textcolor{bleu}{l'analyse des correspondances multiples} (fonction {\bf MCA}),...
\vspace{0.2cm}
\item Dans chaque méthode, on peut ajouter \textcolor{bleu}{des éléments illustratifs} (individus, variables), \textcolor{bleu}{des aides à l'interprétation} sont fournies.
\vspace{0.2cm}
\item Des \textcolor{bleu}{représentations graphiques} et \textcolor{bleu}{leurs options} sont associées à chaque méthode.
\end{itemize}
\item[$\succ$] Le package \textcolor{orange}{missMDA} permet de gérer les données manquantes en analyse des données (ACP, ACM ou AFM).
\end{itemize}
\href{http://math.agrocampus-ouest.fr/infoglueDeliverLive/membres/Francois.Husson/coinR}{Pour en savoir plus}
\end{frame}
% %
\begin{frame}
\frametitle{Notations}
\vspace{-0.2cm}
On dispose de \textcolor{orange}{p variables }
\textcolor{bleu}{$X^{1},X^{2},\ldots,X^{j},\ldots X^{p}$}
observées sur \textcolor{orange}{n individus} %ou unités statistiques.
\\
\vspace{0.2cm}
%%
On note \textcolor{bleu}{$x^{j}_{i}$ }: l'observation de \textcolor{bleu}{$X^{j}$} sur le i-ième individu.\\
\vspace{0.2cm}
{\bf Tableau de données }:
\begin{align}
X= \left[\begin{array}{ccc}
x_{1}^{1} & \dots & x_{1}^{p}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
x_{n}^{1} & \dots & x_{n}^{p}
\end{array}\right] & \quad n \quad \mbox{individus} \nonumber \\
p \quad \mbox{variables} \nonumber
\end{align}
Le tableau des données peut être analysé à travers ses lignes (individus) ou à travers ses colonnes (variables).\\
\vspace{0.2cm}
%
$ \textcolor{bleu}{X^{j}}\,= \quad (X^{j}_{1},\ldots,X^{j}_{n}) \quad \mbox{variable} \quad j$ \\
\vspace{0.2cm}
$ \textcolor{bleu}{X_{i}}\quad = \quad (X^{1}_{i},\ldots,X^{p}_{i}) \quad\mbox{individu} \quad i $ \\
\vspace{0.2cm}
En \textcolor{orange}{ACP}, on se limite aux \textcolor{orange}{variables quantitatives}, éventuellement binaires ou ordonnées. \\
\end{frame}
\note{
}
%
% \begin{frame}[fragile]
% \frametitle{\'Etude descriptive des variables}
% <<test-plot>>=
% plot(1) # high-level plot
% abline(0, 1) # low-level change
% plot(rnorm(10)) # high-level plot
% ## many low-level changes in a loop (a single R expression)
% for(i in 1:10) {
% abline(v = i, lty = 2)
% }
% @
% %
% % <<echo=FALSE>>=
% % # some setup
% % options(width=80) # make the printing fit on the page
% % @
% % \textcolor{blue}{\large Lecture des donn\'ees}
% % \vspace{0.2cm}
% % %<<echo=FALSE,results='hide'>>=
% % <<echo=FALSE,results='hide'>>=
% % load("autos.RData")
% %
% % summary(autos)
% % # autos <- read.xlsx("autos-acp-diapos.xls",2,as.data.frame=TRUE)
% % # print(autos)
% %
% % @
% % \vspace{0.2cm}
% % \textcolor{blue}{\large Statistiques descriptives}
% % \vspace{0.2cm}
% % <<echo=FALSE>>=
% % # Statistiques descriptives
% % summary(autos)
% % @
% \end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{\'Etude descriptive des variables (suite)}
tableau de données \\
\noindent \textcolor{orange}{Matrice de corrélation} \\
\noindent \textcolor{orange}{Scaterplot}\\
Ces analyses fournissent des informations importantes sur les relations deux à deux entre les variables mais ne permettent pas de synthétiser de facon simple la structure globale des données.
\end{frame}
\note{
}
\begin{frame}
\frametitle{Problèmatique}
{\large
\textcolor{orange}{La problématique peut se décomposer en deux points }:
\vspace{1.cm}
\begin{itemize}
\item[$\succ$] Comment visualiser \textcolor{bleu}{la forme du nuage des individus} dans \textcolor{bleu}{$\mathcal{R}^{p}$}
\vspace{0.6cm}
\item[$\succ$] Comment synthétiser \textcolor{bleu}{les relations entre les variables} dans \textcolor{bleu}{$\mathcal{R}^{n}$}
\end{itemize}
}
\end{frame}
\note{
}
%
\section{\'Etude des individus}
\begin{frame}
\frametitle{Critère d'inertie}
%$\bar{x^{j}}, \sigma^{j}$ sont respectivement la moyenne et l'écart-type de $X^{j}$
Les méthodes factorielles dont l'ACP réduisent la dimension de l'espace par projection orthogonale sur des sous-espaces affines.
\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
\item[$\succ$] \textcolor{bleu}{Choix de le métrique} :\vspace{-0.2cm}
$$ \|X_{i} - X_{i^{'}}\|^{2}=\sum_{j=1}^{p}(X^{j}_{i} - X^{j}_{i^{'}})^{2}$$
\vspace{-0.2cm}
\item[$\succ$] \textcolor{bleu}{Données centrées} : $\tilde{x^{j}_{i}} = x^{j}_{i} -\bar{x^{j}}$ , ($\bar{x^{j}}$ est la moyenne de $X^{j}$)
\vspace{0.2cm}
\item[$\succ$] \textcolor{bleu}{Données réduites} : $\tilde{\tilde{x^{j}_{i}}} = \frac{x^{j}_{i} -\bar{x^{j}}}{\sigma^{j}}$ , ($\sigma^{j}$ est l'écart-type de $X^{j}$)\\
\vspace{0.2cm}
\textcolor{orange}{l'ACP normée} est une ACP sur les \textcolor{orange}{données réduites}.
\vspace{0.2cm}
\item[$\succ$] \textcolor{bleu}{Inertie du nuage des individus}
$$ I = \sum_{i=1}^{n}m_{i} \|X_{i}\|^{2} $$
$m_{i}$ : poids associé à l'individu \i
\end{itemize}
\vspace{0.2cm}
%Les méthodes factorielles dont l'ACP réduisent la dimension de l'espace par projection orthogonale sur des sous-espaces affines.\\
$\Longrightarrow$ \textcolor{orange}{On cherchera à minimiser la déformation du nuage par projection}.
\end{frame}
\note{
}
%
\begin{frame}
\frametitle{Moindre déformation du nuage}
%\vspace{-0.5cm}
La réduction du nuage d'individus se fait par \textcolor{orange}{projection orthogonale sur un sous-espace affine $\mathcal{H}$}
\vspace{0.4cm}
\begin{itemize}
\item[$\succ$] \textcolor{bleu}{Choix du sous-espace affine $\mathcal{H}$ } : minimisation de la déformation du nuage par projection.
\vspace{0.2cm}
\item[$\succ$] \textcolor{bleu}{Inertie du nuage d'individus autour de $\mathcal{H}$ }:
$$ J_{\mathcal{H}} = \sum_{i=1}^{n}m_{i} \|X_{i} - X_{i}^{*}\|^{2}$$
% \quad X_{i}^{*} \mbox{ : projeté orthogonal de } X_{i} \mbox{ sur }\mathcal{H}$
%\vspace{0.2cm}
\begin{center}
$\Longrightarrow$ \textcolor{orange}{Il faudra minimiser $ J_{\mathcal{H}}$}
\end{center}
\vspace{0.2cm}
\item[$\succ$] \textcolor{bleu}{Inertie du nuage projeté} : $ I_{\mathcal{H}} = \sum_{i=1}^{n}m_{i} \|X_{i}^{*}\|^{2}$
$$ I = J_{\mathcal{H}} + I_{\mathcal{H}} \quad \mbox{(pythagore)}$$
\end{itemize}
%\vspace{0.2cm}
% \begin{block}{Déterminer $\mathcal{H}$}
%\begin{block}{}
\begin{center}
\textcolor{orange}{Minimisation $J_{\mathcal{H}}$ $\Longleftrightarrow$ Maximiser $I_{\mathcal{H}}$ }\end{center}
%\end{block}
\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Détermination de $\mathcal{H}_{k}$}
\vspace{-1.cm}
$$\mathcal{H}_{k} = \min_{\mathcal{H} : dim(\mathcal{H})=k} J_{\mathcal{H}} = \max_{\mathcal{H} : dim(\mathcal{H})=k} I_{\mathcal{H}} $$
La recherche de $\mathcal{H}_{k}$ peut se faire de fa\c{c}on séquentielle.
$$ \Gamma=(X)^{t}.M.X\quad \mbox{matrice de variance covariance}$$
$\Gamma$ est semi-définie positive, elle est diagonalisable. $\lambda_{p} \ge \ldots \ge \lambda_{1} \ge 0$
\begin{itemize}
\item[$\succ$] \textcolor{bleu}{$\mathcal{H}_{k} = Vect(u_{1},\ldots,u_{k})$} engendré par les k premiers vecteurs propres de $\Gamma$
\vspace{0.2cm}
\item[$\succ$] \textcolor{bleu}{$\lambda_{k}$} : k-ième valeur propre de \textcolor{bleu}{$\Gamma$} associé au k-ième vecteur propre \textcolor{bleu}{$u_{k}$}.
\textcolor{orange}{$$I_{u_{k}} = \lambda_{k}$$}
\vspace{-0.4cm}
\item[$\succ$] \textcolor{bleu}{Inertie du nuage sur $\mathcal{H}_{k}$} :
\textcolor{orange}{$$I_{\mathcal{H}_{k}} = \sum_{j=1}^{k} \lambda_{j}$$}
\end{itemize}
\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Axes principaux de l'ACP}
\begin{itemize}
\item[$\succ$]\begin{itemize}
\item[$\succ$] \textcolor{orange}{(G,$u_{k}$)} : \textcolor{bleu}{k ième axe principal}
\vspace{0.2cm}
\item[$\succ$] \textcolor{bleu}{ACP normée} (somme des variances) : \textcolor{orange}{$$I=p$$}
\item[$\succ$] \textcolor{bleu}{ACP non normée} : \textcolor{orange}{$$I= \sum_{j=1}^{p} \lambda_{j}$$}
\item[$\succ$] \textcolor{bleu}{Part d'inertie expliquée}
\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
\item sur le k ième axe : \textcolor{orange}{$$\frac{\lambda_{k}}{I}$$}
\item sur $\mathcal{H}_{k}$ : \textcolor{orange}{$$I_{\mathcal{H}_{k}} = \frac{\sum_{j=1}^{k} \lambda_{j}}{I}$$}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Représentation graphique et interprétation}
\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Relation entre les variables}
\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Corrélation entre les composantes principales et les variables initiales}
dessin cercle de corrélation pour le premier plan factoriel
\end{frame}
%
\section{\'Etude des variables}
\subsection{Nuage des variables}
\subsection{ACP du nuage des varianbles}
%
\section{Relation entre les représentations des nuages}
\begin{frame}
\frametitle{Relation entre les représentations des nuages}
\end{frame}
% Interprétation
\section{Aide à l'interprétation}
\subsection{Indicateurs}
%
\begin{frame}
\frametitle{Indicateurs}
%
\begin{itemize}
\item[$\succ$] \textcolor{orange}{Qualité de représentation}
\item[$\succ$] \textcolor{orange}{Contribution à la construction des axes}
\begin{itemize}
\item \textcolor{bleu}{Contrinution d'un individu à l'inertee du nuage}
\item \textcolor{bleu}{Contribution à l'inertie le long d'un axe $(O,u_{\alpha})$}
\item \textcolor{bleu}{Qualité de la projection sur l'axe $(O,u_{\alpha})$}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Nombre d'axes à analyser}
Il existe plusieurs critères de décision.
\end{frame}
%
\subsection{\'Eléments supplémentaires}
%
\begin{frame}
\frametitle{\'Eléments supplémentaires}
\begin{itemize}
\item[$\succ$] \textcolor{bleu}{Individus}
\item[$\succ$] \textcolor{bleu}{Variables numériques}
\item[$\succ$] \textcolor{bleu}{Variables nominales}
\end{itemize}
\end{frame}
%
\section{Mise en oeuvre avec FactoMineR}
\begin{frame}
\frametitleMise en oeuvre avec FactoMineR}
\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Autres méthodes d'analyse de données multidimensionnelles}
\begin{itemize}
\item Analyse factorielle des correspondances (fonction CA du package FactoMineR)
Les variables actives sont qualitatives
\item Analyse factorielle des correspondances multiples (fonction MCA du package FactoMineR)
\item La méthode AFDM : les variables sont mixtes
\item Méthodes de classification
\end{itemize}
\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Démarche en analyse multivariée}
\textcolor{orange}{Quelles méthodes, quels paramétrages? Comment interpréter? Comment gérer les données manquantes}
\vspace{0.2cm}
\begin{enumerate}
\item Y-a-t-il des \textcolor{bleu}{groupes de variables}?
\vspace{0.1cm}
%(données structurées avec différentes sources d'information).
\item \textcolor{bleu}{Quel type de données}
\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item Tableau de contingences (AFC)
\item Plusieurs tableaux de contingences (AFMTC)
\item Tableau individus x variables : ACP, ACM, AFDM ou AFM.
\end{itemize}
\vspace{0.1cm}
%quels sont les éléments supplémentaires? ind.sup, quanti.sup, quali.sup, row.sup, col.sup, group.sup.
\item Quelle est la \textcolor{bleu}{nature des variables actives}? quantitative, qualitatives, mixte.
\vspace{0.1cm}
%(ACP-PCA), qualitatives (AFC- MCA, ACM -), mixtes (AFDM - FAMD).
\item Doit-on \textcolor{bleu}{réduire les variables }quantitatives?
\vspace{0.1cm}
%\begin{itemize}
%\item Réduire : indispensable lorsque les unités sont différentes, lorsqu'on accorde la même importance à toutes les variables.
%\item Ne pas réduire : l'importance d'une variable est proportionnelle à sa variabilité.
%\end{itemize}
\item Quels sont \textcolor{bleu}{les éléments actifs et supplémentaires}?
\vspace{0.1cm}
\item Y a-t-il des \textcolor{bleu}{données manquantes}?
\vspace{0.1cm}
% : utiliser la package missMDA.
\item \textcolor{bleu}{Interpréter les axes} avec les éléments actifs et illustratifs. ou supplémentaires.
\vspace{0.1cm}
\item Faire une \textcolor{bleu}{classification} des individus \textcolor{bleu}{sur les premiers axes factoriels}.
\end{enumerate}
\end{frame}
\note{
Réduire : indispensable lorsque les unités sont différentes, lorsqu'on accorde la même importance à toutes les variables.
Ne pas réduire : l'importance d'une variable est proportionnelle à sa variabilité.
}
%
% \begin{frame}
% \frametitle{Démarche avec le support de FactoMineR}
% \begin{enumerate}
%
% \item \textcolor{bleu}{Analyse sur tableau de contingences} (AFC) :
% \vspace{0.1cm}
% \item \textcolor{bleu}{Analyse sur tableau individus x variables} (ACP, ACM, ...) :
% \vspace{0.1cm}
% \item \textcolor{bleu}{Analyse sur plusieurs tableaux de contingences} (AFMTC) :
% \vspace{0.1cm}
% \item \textcolor{bleu}{\'Eléments supplémentaires} : options ind.sup, quanti.sup, quali.sup, row.sup, col.sup, group.sup.
% \vspace{0.1cm}
% \item \textcolor{bleu}{Nature des variables actives}? quantitative, qualitatives, mixte.
% \vspace{0.1cm}
% \begin{itemize}
% \item Quantitative : %(ACP-PCA)
% \item Qualitatives : %AFC- MCA, ACM
% \item Mixtes : %AFDM - FAMD
% \end{itemize}
%
% \item \textcolor{bleu}{Réduire les variables quantitatives} :
% \vspace{0.1cm}
%
% \item \textcolor{bleu}{\'Eléments actifs et supplémentaires} :
% \vspace{0.1cm}
% \item \textcolor{bleu}{Données manquantes} : utiliser la package missMDA.
% \vspace{0.1cm}
% \item \textcolor{bleu}{Interpréter les axes} avec les éléments actifs et illustratifs :
% \vspace{0.1cm}
% \item \textcolor{bleu}{Classification} des individus \textcolor{bleu}{sur les premiers axes factoriels} :
% \end{enumerate}
%
%
% \end{frame}
% \note{
%
% }
%
\end{document}
%% LyX 2.1.2 created this file. For more info, see http://www.lyx.org/.
\documentclass[10pt,xcolor=table]{beamer}\usepackage[]{graphicx}\usepackage[]{color}
%% maxwidth is the original width if it is less than linewidth
%% otherwise use linewidth (to make sure the graphics do not exceed the margin)
\makeatletter
\def\maxwidth{ %
\ifdim\Gin@nat@width>\linewidth
\linewidth
\else
\Gin@nat@width
\fi
}
\makeatother
\definecolor{fgcolor}{rgb}{0.345, 0.345, 0.345}
\newcommand{\hlnum}[1]{\textcolor[rgb]{0.686,0.059,0.569}{#1}}%
\newcommand{\hlstr}[1]{\textcolor[rgb]{0.192,0.494,0.8}{#1}}%
\newcommand{\hlcom}[1]{\textcolor[rgb]{0.678,0.584,0.686}{\textit{#1}}}%
\newcommand{\hlopt}[1]{\textcolor[rgb]{0,0,0}{#1}}%
\newcommand{\hlstd}[1]{\textcolor[rgb]{0.345,0.345,0.345}{#1}}%
\newcommand{\hlkwa}[1]{\textcolor[rgb]{0.161,0.373,0.58}{\textbf{#1}}}%
\newcommand{\hlkwb}[1]{\textcolor[rgb]{0.69,0.353,0.396}{#1}}%
\newcommand{\hlkwc}[1]{\textcolor[rgb]{0.333,0.667,0.333}{#1}}%
\newcommand{\hlkwd}[1]{\textcolor[rgb]{0.737,0.353,0.396}{\textbf{#1}}}%
\usepackage{framed}
\makeatletter
\newenvironment{kframe}{%
\def\at@end@of@kframe{}%
\ifinner\ifhmode%
\def\at@end@of@kframe{\end{minipage}}%
\begin{minipage}{\columnwidth}%
\fi\fi%
\def\FrameCommand##1{\hskip\@totalleftmargin \hskip-\fboxsep
\colorbox{shadecolor}{##1}\hskip-\fboxsep
% There is no \\@totalrightmargin, so:
\hskip-\linewidth \hskip-\@totalleftmargin \hskip\columnwidth}%
\MakeFramed {\advance\hsize-\width
\@totalleftmargin\z@ \linewidth\hsize
\@setminipage}}%
{\par\unskip\endMakeFramed%
\at@end@of@kframe}
\makeatother
\definecolor{shadecolor}{rgb}{.97, .97, .97}
\definecolor{messagecolor}{rgb}{0, 0, 0}
\definecolor{warningcolor}{rgb